Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Paso 1

Multiplica $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Paso 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Paso 1.2

Multiplica cada fila en la primera matriz por cada columna en la segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Paso 1.3

Simplifica cada elemento de la matriz mediante la multiplicación de todas las expresiones.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Paso 2

La ecuación de matriz puede escribirse como un conjunto de ecuaciones.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Paso 3

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $z$ por $8 + y$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $2 x + 2 y - 5 z = 15$ por $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Paso 4.2.1.2

Resta $5 y$ de $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $- x - y + 3 z = 23$ por $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Paso 4.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1

Simplifica $- x - y + 3 (8 + y)$ .

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Paso 4.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Paso 4.4.1.1.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Paso 4.4.1.2

Suma $- y$ y $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Paso 5

Reordena $8$ y $y$ .

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Paso 6

Resuelve $y$ en $z = y + 8$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $y + 8 = z$ .

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Paso 6.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $y$ por $z - 8$ en cada ecuación.

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Paso 7.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $- x + 2 y + 24 = 23$ por $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Simplifica $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

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Paso 7.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Paso 7.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Paso 7.2.1.2

Suma $- 16$ y $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $y$ en $2 x - 3 y - 40 = 15$ por $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 7.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.1

Simplifica $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

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Paso 7.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 7.4.1.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 7.4.1.2

Resta $40$ de $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 8

Resuelve $x$ en $2 x - 3 z - 16 = 15$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1.1

Suma $3 z$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 8.1.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 8.1.3

Suma $15$ y $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 8.2

Divide cada término en $2 x = 3 z + 31$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $2 x = 3 z + 31$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $- x + 2 z + 8 = 23$ por $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Simplifica $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

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Paso 9.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.2

Para escribir $2 z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.3

Combina $2 z$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.7

Suma $- 3 z$ y $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.8

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.9

Simplifica los términos.

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Paso 9.2.1.9.1

Combina $8$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.10.1

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 9.2.1.10.2

Resta $31$ de $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 10

Resuelve $z$ en $\frac{z - 15}{2} = 23$ .

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Paso 10.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 10.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 10.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 10.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $2$ por $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 10.3.2

Suma $46$ y $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $z$ por $61$ en cada ecuación.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ por $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Paso 11.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.1

Simplifica $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

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Paso 11.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Paso 11.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.1.2.1

Multiplica $3$ por $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Paso 11.2.1.2.2

Suma $183$ y $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Paso 11.2.1.2.3

Divide $214$ por $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Paso 11.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $y = z - 8$ por $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Paso 11.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.4.1

Resta $8$ de $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Paso 12

Enumera todas las soluciones.

$y = 53, x = 107, z = 61$